Родился 2 августа 1950 года. Окончил химический факультет Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.
Публикуется с 1972 года. Дебютировал как поэт в коллективном сборнике «Ленинские горы: Стихи поэтов МГУ» (1977). В юности публиковался в периодической печати («Комсомольская правда», «Юность», «Московский комсомолец», «Простор»), однако первая книга его стихов вышла в Америке в 1984 году.
В начале 70-х годов ХХ века Кенжеев стал одним из учредителей поэтической группы «Московское время» (вместе с Алексеем Цветковым, Александром Сопровским, Сергеем Гандлевским). В 1982 году эмигрировал в Канаду, с 2006 года живёт в Нью-Йорке. Это не помешало Кенжееву проводить встречи с читателями и коллегами по цеху в России, а издание книг в основном осуществлялось в российских издательствах.
Член Русского ПЕН-клуба. Входил в жюри премии «Дебют» (2000), в жюри международного конкурса переводов тюркоязычной поэзии «Ак торна» (2011), Международного литературного конкурса «Русская премия», «Кубок мира», «Волошинский конкурс». Публиковался в переводах на казахский, английский, французский, немецкий, испанский, голландский, итальянский, украинский, китайский и шведский языки.
Лауреат премии журнала «Октябрь» (1992), премии Союза молодёжи Казахстана (1996), премии «Антибукер» (2000) за книгу стихов «Снящаяся под утро», «Русской Премии» (2008), премии журнала «Новый мир», премии «Антология» (2006), премии В. Сирина (Набокова) (2016), премии журнала «Знамя» (2016), премии журнала «Дети Ра» (2018).